Question

【题目】如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．

（1）证明：tan ；
（2）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan +tan +tan +tan 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明： tan = = = ．等式成立．
（2）解：由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan +tan +tan +tan = = ，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2ABADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，

在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BCCDcosC，

所以AB2+AD2﹣2ABADcosA=BC2+CD2﹣2BCCDcosC，

则：cosA= = = ．

于是sinA= = ，

连结AC，同理可得：cosB= = = ，

于是sinB= = ．

所以tan +tan +tan +tan = = = ．

【解析】（1）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．（2）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（1）化简tan +tan +tan +tan = ，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可．