题目内容
【题目】已知以椭圆
：
的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线
：
与椭圆交于异于椭圆顶点的
，
两点，
为坐标原点，直线
与椭圆的另一个交点为
点，直线和直线的斜率之积为1，直线
与
轴交于点
.若直线，
的斜率分别为
，
，试判断
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）
；（2）0
【解析】
（1）由题意可得到
，求解即可得出椭圆方程；
（2）先设
，
，则
，
，根据
，得到
，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，表示出
，
，进而可求出
的值，得出结论.
（1）因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，
所以，解得
.所以椭圆
的方程为.
（2）设，，则，，
因为，所以，
联立
，消
，得
，
所以
，
，
所以
，
直线
的方程为：
，令
，由
，得
，
所以
，
，
所以
.所以为定值0.
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