题目内容
【题目】已知以椭圆:的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线:与椭圆交于异于椭圆顶点的,两点,为坐标原点,直线与椭圆的另一个交点为点,直线和直线的斜率之积为1,直线与轴交于点.若直线,的斜率分别为,,试判断是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.
【答案】(1);(2)0
【解析】
(1)由题意可得到,求解即可得出椭圆方程;
(2)先设,,则,,根据,得到,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,表示出,,进而可求出的值,得出结论.
(1)因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形,
所以,解得.所以椭圆的方程为.
(2)设,,则,,
因为,所以,
联立,消,得,
所以,,
所以,
直线的方程为:,令,由,得,
所以,,
所以.所以为定值0.
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