题目内容
【题目】如图,已知椭圆的离心率为
,
分别是椭圆的左右焦点,点
是椭圆上任意一点,且
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)在直线上是否存在点Q,使以
为直径的圆经过坐标原点O,若存在,求出线段
的长的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ)存在,最小值是
【解析】
(Ⅰ) 根据椭圆的定义可得,,又离心率
,可以解出
,再根据
求出
,即可得到椭圆的标准方程;
(Ⅱ) 假设在直线上存在点
,则
,即
,根据点
如可求出
点坐标,即说明存在;根据距离公式可求出
,结合点
是椭圆上任意一点可得
,消去
,由基本不等式即可求出
的最小值,并求得
点坐标.
(Ⅰ)设,
,
,则
.
∵点是椭圆上任意一点,且
.
∴.∴
.∴
.
∵,∴
.
∴所求椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)假设在直线上存在点Q,使以
为直径的圆经过坐标原点O,
则.∴
.
设,
,则
.
∴.
当时,以
为直径的圆不经过坐标原点O.
当时,
.
∴
∵点在椭圆上,∴
.∴
.
∴.
,当且仅当
或
时取等号,此时
,
所以,
的最小值是
.
所以,在直线上存在点
,使以
为直径的圆经过坐标原点O,且线段PQ的长的最小值是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在如图所示的六面体中,四边形是边长为
的正方形,四边形
是梯形,
,平面
平面
,
,
.
(1)在图中作出平面 与平面
的交线,并写出作图步骤,但不要求证明;
(2)求证:平面
;
(3)求平面与平面
所成角的余弦值
【题目】“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的
城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图如图:
(1)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值的大小(不要求计算具体值,给出结论即可);
(2)若得分不低于85分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成此列联表,并据此样本分析是否有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关;
合计 | |||
认可 | |||
不认可 | |||
合计 |
(3)若此样本中的城市和
城市各抽取1人,则在此2人中恰有一人认可的条件下,此人来自
城市的概率是多少?
(参考公式:)
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.为调查某款订餐软件的商家的服务情况,统计了10次订餐“送达时间”,得到茎叶图如下:(时间:分钟)
(1)请计算“送达时间”的平均数与方差:
(2)根据茎叶图填写下表:
送达时间 | 35分组以内(包括35分钟) | 超过35分钟 |
频数 | A | B |
频率 | C | D |
在答题卡上写出,
,
,
的值;
(3)在(2)的情况下,以频率代替概率.现有3个客户应用此软件订餐,求出在35分钟以内(包括35分钟)收到餐品的人数的分布列,并求出数学期望.
【题目】随着社会的进步与发展,中国的网民数量急剧增加.下表是中国从年网民人数及互联网普及率、手机网民人数(单位:亿)及手机网民普及率的相关数据.
年份 | 网民人数 | 互联网普及率 | 手机网民人数 | 手机网民普及率 |
2009 | ||||
2010 | ||||
2011 | ||||
2012 | ||||
2013 | ||||
2014 | ||||
2015 | ||||
2016 | ||||
2017 | ||||
2018 |
(互联网普及率(网民人数/人口总数)×100%;手机网民普及率
(手机网民人数/人口总数)×100%)
(Ⅰ)从这十年中随机选取一年,求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率;
(Ⅱ)分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年,记为手机网民普及率超过50%的年数,求
的分布列及数学期望;
(Ⅲ)若记年中国网民人数的方差为
,手机网民人数的方差为
,试判断
与
的大小关系.(只需写出结论)