Question

已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。求证：无论点怎样变化，的面积为常数，并求出此常数.

Answer 1

（1）椭圆的方程为；（2）的面积为常数．

试题分析：（1）由题知，且，解这个方程组求得即可得椭圆的方程；（2）涉及直线与曲线的关系的问题，多是将直线方程与曲线方程联立再用韦达定理解决.此题中有两个椭圆，将哪个椭圆的方程与直线方程联立？此题意即直线与的交点的中点在上，故应将直线方程与的方程联立由韦达定理得中点坐标，再将中点坐标代入的方程.然后求出三角形OAB的面积的表达式，再利用前面所得关系式化为一常数即可.
试题解析：（1）由题知，且 即，椭圆的方程为；    4分
（2）当直线的斜率不存在时，必有，此时，        5分
当直线的斜率存在时，设其斜率为、点，则
与椭圆联立，得，设，
则  即            8分
又             9分



综上，无论怎样变化，的面积为常数．            12分