Question

椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，离心率为，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）＋为定值，这个定值为－8

(1)由于c²＝a²－b²，将x＝－c代入椭圆方程＝1，得y＝±.
由题意知＝1，即a＝2b².
又e＝＝，所以a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y²＝1.
(2)设P(x₀，y₀)(y₀≠0)，又F₁(－，0)，F₂(，0)，
知，
直线l的方程为y－y₀＝k(x－x₀)．联立得
整理得(1＋4k²)x²＋8(ky₀－k²x₀)x＋4(－2kx₀y₀＋k²－1)＝0.
由题意Δ＝0，即(4－)k²＋2x₀y₀k＋1－＝0.
又＋＝1，
所以16k²＋8x₀y₀k＋＝0，故k＝－.
所以＋＝＝·＝－8，
因此＋为定值，这个定值为－8