题目内容
15.已知函数f(x)=px-$\frac{p}{x}$-2lnx,其中p∈R.(Ⅰ)求函数f(x)在(1,0)点的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为单调递增函数,求实数p的取值范围;
(Ⅲ)若函数g(x)=$\frac{2e}{x}$,且p>0,若在[1,e]上至少存在一个x的值使f(x)>g(x)成立,求实数p的取值范围.
分析 (Ⅰ)根据求导公式求出f′(x),由导数的几何意义求出切线的斜率,根据点斜式方程求出切线方程并化为一般式方程;
(Ⅱ)由导数与函数单调性的关系将条件转化为:f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,再分离常数p,利用基本不等式求出p的范围;
(Ⅲ)将条件转化为:不等式f(x)-g(x)>0 在[1,e]上有解,再构造函数F(x)=f(x)-g(x),求出F′(x)化简后利用已知条件判断出符号,得到F(x)的单调性,求出F(x)在[1,e]的最大值,即可求出实数p的取值范围.
解答 解:(Ⅰ)由题意得,f′(x)=p+$\frac{p}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$=$\frac{p{x}^{2}-2x+p}{{x}^{2}}$,
∴在(1,0)点的切线d斜率k=2p-2,
∴在(1,0)点的切线方程是:y=(2p-2)(x-1)…(4分)
(Ⅱ)由(I)得f′(x)=$\frac{p{x}^{2}-2x+p}{{x}^{2}}$,且定义域是(0,+∞),
∵f(x)在其定义域内的单调递增函数,则f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴px2-2x+p≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴$p≥\frac{2x}{{x}^{2}+1}$在(0,+∞)上恒成立即可,
∵$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=1,当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即x=1时取等号,∴p≥1,
∴实数p的取值范围是[1,+∞) …(9分)
(Ⅲ)在[1,e]上至少存在一个x的值使f(x)>g(x)成立,
等价于不等式f(x)-g(x)>0 在[1,e]上有解,
设F(x)=f(x)-g(x)=px-$\frac{p}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$,
∵p>0,x∈[1,e],
∴F′(x)=p+$\frac{p}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$+$\frac{2e}{{x}^{2}}$=$\frac{p{x}^{2}-2x+p+2e}{{x}^{2}}$>0,
∴F(x)在[1,e]上的增函数,F(x)的最大值是F(e)=$pe-\frac{p}{e}-4$,
依题意需$pe-\frac{p}{e}-4$>0,解得p>$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$,
∴实数p的取值范围是($\frac{4e}{{e}^{2}-1}$,+∞) …(14分)
点评 本题考查了导数的几何意义及切线方程,利用导数研究函数的单调性、最值,考查构造函数法,分离常数法,转化思想,以及化简、计算能力,属于中档题.
A. | $\frac{π}{2}$ | B. | $\frac{3π}{4}$ | C. | π | D. | $\frac{3π}{2}$ |