Question

10．已知定义在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的函数f（x）=sin（π-2x）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若方程f（x）=a只有一个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件可得f（x）=sin2x，根据正弦函数的周期性求得它的最小正周期，根据正弦函数的单调性求得它的增区间．
（2）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=a在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上只有一个交点，数形结合可得a的范围．

解答 解：（1）定义在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的函数f（x）=sin（π-2x）=sin2x，
它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈z．
再结合x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，可得函数的增区间为[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]．
（2）由方程f（x）=a只有一个解，
可得函数f（x）的图象和直线y=a在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上只有一个交点，
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]⇒2x∈[-$\frac{π}{3}$，π]⇒sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
如图所示：可得a∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）或a=1，
即实数a的取值范围为{a|-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a＜0或a=1}．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．