题目内容
3.设△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,c成等差数列,且$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinC}=\frac{8}{3}$(1)求$\frac{sinB}{sinAsinC}$的值;
(2)若sinB=$\frac{4}{5}$,求a:b:c的值.
分析 (1)运用等差数列的性质和正弦定理,结合条件即可得到所求;
(2)分别求得sinA,sinC,再由正弦定理可得a:b:c=sinA:sinB:sinC,代入计算即可得到比值.
解答 解:(1)a,b,c成等差数列,即有2b=a+c,
由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC,
由$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinC}=\frac{8}{3}$,即为$\frac{sinA+sinC}{sinAsinC}$=$\frac{2sinB}{sinAsinC}$=$\frac{8}{3}$,
则$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{4}{3}$;
(2)若sinB=$\frac{4}{5}$,则由(1)得sinAsinC=$\frac{3}{5}$,
又$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinC}=\frac{8}{3}$,
解得sinA=1,sinC=$\frac{3}{5}$或sinC=1,sinA=$\frac{3}{5}$.
故a:b:c=sinA:sinB:sinC
=5:4:3或3:4:5.
点评 本题考查等差数列的性质和正弦定理的运用,考查运算能力,属于基础题.
练习册系列答案
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A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 既不充分又不必要条件 | D. | 充要条件 |