题目内容
15．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}sinx$，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-cosx），x∈R．（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求此时函数f（x）的最大值，并指出x取何值时，f（x）取得最大值．
（3）将f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位，再向上移动$\frac{1}{2}$个单位，得到g（x），若g（x）为奇函数，求φ的值．
分析 （1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，由正弦函数的单调性即可求得x取何值时，f（x）取得最大值．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，利用定义域包含0的函数g（x）为奇函数的条件是g（0）=0，求得sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=0，从而得解．
解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间为：[kπ$-\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值$\frac{1}{2}$．
（3）将f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位，再向上移动$\frac{1}{2}$个单位，得到g（x），
则g（x）=sin[2（x+φ）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+2φ-$\frac{π}{6}$）．
要使函数g（x）=sin（2x+2φ-$\frac{π}{6}$）为奇函数，
需sin（2×0+2φ-$\frac{π}{6}$）=sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=0，故2φ-$\frac{π}{6}$=kπ，
则：φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平面向量及应用，正弦函数的单调性等知识的综合应用，属于基本知识的考查．
