题目内容
【题目】如图,定义:以椭圆中心为圆心,长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N,当点N在点M的下方时,称点N为点M的“下辅助点”.已知椭圆上的点
的下辅助点为(1,﹣1).
(1)求椭圆E的方程;
(2)若△OMN的面积等于,求下辅助点N的坐标;
(3)已知直线l:x﹣my﹣t=0与椭圆E交于不同的A,B两点,若椭圆E上存在点P,使得四边形OAPB是对边平行且相等的四边形.求直线l与坐标轴围成的三角形面积最小时的m2+t2的值.
【答案】(1)y2=1;(2)(
,
) 或(
,
);(3)3.
【解析】
(1)由椭圆过的点的坐标和辅助圆x2+y2=a2过的坐标,代入可得a,b的值,进而求出椭圆的方程;
(2)设N的坐标和M的坐标,代入椭圆和辅助圆求出N,M的坐标的关系,进而求出△OMN的面积S△OMNx0(y1﹣y0)
,则x0y1
和,
y12=1,联立求出下辅助点N的坐标;
(3)设A,B的坐标将直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积,求出AB的中点坐标,因为四边形OAPB是对边平行且相等,即四边形OAPB恰好为平行四边形,所以.所以三角形OAB面积为
,当且仅当m2=2,t2=1时取等号,进而可得m2+t2的值为3.
(1)因为椭圆E:1,过点(1,
),辅助圆x2+y2=a2过(1,1),所以可得a2=12+(﹣1)2=2,
所以椭圆的实半轴长的平方a2=2,
所以1,解得:b2=1,
∴椭圆E的方程为:y2=1;
(2)设点N(x0,y0),(y0<0),则由题意可得点M(x0,y1),(y1<0),将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得,x02+y02=2,y12=1,
故y02=2y12,即y0,
又S△OMNx0(y1﹣y0)
,则x0y1
联立,可解得
或
,∴下辅助点N 的坐标为(
,
) 或(
,
);
(3)由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立整理得(m2+2)y2+2mty+t2﹣2=0,
则△=8(m2+2﹣t2)>0.
根据韦达定理得,
因为四边形OAPB是对边平行且相等,即四边形OAPB恰好为平行四边形,
所以.所以
,
因为点P在椭圆E 上,所以,
整理得,即4t2=m2+2,
在直线l:x﹣my﹣t=0中,由于直线l与坐标轴围成三角形,则t≠0,m≠0.
令x=0,得,令y=0,得x=t.
所以三角形OAB面积为,
当且仅当m2=2,t2=1时,取等号,此时△=24>0.且有m2+t2=3,
故所求m2+t2 的值为3.
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