Question

【题目】如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”．已知椭圆上的点的下辅助点为（1，﹣1）．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若△OMN的面积等于，求下辅助点N的坐标；

（3）已知直线l：x﹣my﹣t＝0与椭圆E交于不同的A，B两点，若椭圆E上存在点P，使得四边形OAPB是对边平行且相等的四边形．求直线l与坐标轴围成的三角形面积最小时的m2+t2的值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）（，） 或（，）；（3）3．

【解析】

（1）由椭圆过的点的坐标和辅助圆x2+y2＝a2过的坐标，代入可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；

（2）设N的坐标和M的坐标，代入椭圆和辅助圆求出N，M的坐标的关系，进而求出△OMN的面积S△OMNx0（y1﹣y0），则x0y1和，y12＝1，联立求出下辅助点N的坐标；

（3）设A，B的坐标将直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB的中点坐标，因为四边形OAPB是对边平行且相等，即四边形OAPB恰好为平行四边形，所以．所以三角形OAB面积为，当且仅当m2＝2，t2＝1时取等号，进而可得m2+t2的值为3．

（1）因为椭圆E：1，过点（1，），辅助圆x2+y2＝a2过（1，1），所以可得a2＝12+（﹣1）2＝2，

所以椭圆的实半轴长的平方a2＝2，

所以1，解得：b2＝1，

∴椭圆E的方程为：y2＝1；

（2）设点N（x0，y0），（y0＜0），则由题意可得点M（x0，y1），（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，x02+y02＝2，y12＝1，

故y02＝2y12，即y0，

又S△OMNx0（y1﹣y0），则x0y1

联立，可解得或，∴下辅助点N 的坐标为（，） 或（，）；

（3）由题意可设A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立整理得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2＝0，

则△＝8（m2+2﹣t2）＞0．

根据韦达定理得，

因为四边形OAPB是对边平行且相等，即四边形OAPB恰好为平行四边形，

所以．所以，

因为点P在椭圆E 上，所以，

整理得，即4t2＝m2+2，

在直线l：x﹣my﹣t＝0中，由于直线l与坐标轴围成三角形，则t≠0，m≠0．

令x＝0，得，令y＝0，得x＝t．

所以三角形OAB面积为，

当且仅当m2＝2，t2＝1时，取等号，此时△＝24＞0．且有m2+t2＝3，

故所求m2+t2 的值为3．