Question

【题目】某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图.

（I）写出a的值；

（II）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；

（III）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（I）.a=0.03.（II）.870人.

（III）所以X的分布列为：

X	1	2	3
P

E（X）=.

【解析】试题分析：（1）根据各矩形面积之和为 ，可求得 的值；（2）先根据直方图算出初中生中，阅读时间不小于个小时的学生频率以及高中生中，阅读时间不小于个小时的学生频率，结合总人数可估计该校所有学生中，阅读时间不小于个小时的学生人数；（3）的可能取值，利用组合知识结合古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.

试题解析：（I）.a=0.03.

（II）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.

因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，

所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人，

同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，学生人数约有0.35×1200=420人.

所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人.

（III）.初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人.

同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为（0.005×10）×40=2人.

故X的可能取值为l，2，3.

则P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.

所以X的分布列为：

X	1	2	3
P

所以E（X）=1×+2×+3×=.