Question

【题目】已知，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若是展开式中所有无理项的二项式系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:.

Answer 1

【答案】（1）. （2）165.（3）见解析.

【解析】分析：（1）求得，可得；（2）由二项展开式定理可得 ；（3）因为，为无理项，所以必为奇数，所以，利用数学归纳法证明即可.

详解：（1）由题意，所以，所以.

（2），

所以 .

（3）因为，所以要得无理项，必为奇数，

所以，

要证明，

只要证明，用数学归纳法证明如下：

（Ⅰ）当时，左边=右边，

当时，，

∴时，不等式成立.

（Ⅱ）假设当 时，成立，

则时，（*）

∵，

∴结合（*）得：成立，

∴时，不等式成立.

综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立.

∴不等式成立 .