题目内容
【题目】已知关于x的一元二次
函数，分别从集合
和
中随机取一个数
和
得到数对
．
（1）若
， 
，求函数
有零点的概率；
（2）若
， 
，求函数在区间
上是增函数的概率．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）用列举法分别列举出“分别从集合
和
中随机取一个数
和
得到的数对
”和使“函数
有零点的数对”所包含的基本事件，再根据古典概型的计算公式即可得出结果；
（2）先根据
求出所有的基本事件构成的平面区域的面积；再求出函数在区间
上是增函数所对应的平面区域的面积，由几何概型的计算公式即可得出结果.
（1）由已知得
， 
，
则分别从集合和中随机取一个数和得到数对的所有可能的情况有： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，共有18对．
要使
有零点，则需满足
，可得满足条件的有序数对有， ，
， ， ， ，共有6对．
由古典概型概率公式可得所求概率为
．
故函数有零点的概率为．
（2）由题意得所有的基本事件构成的平面区域为
．
要使单调递增，则需满足
，即
．
设“函数在区间上是增函数”为事件A，
则事件A包含的基本事件构成的平面区域为
．
由几何概型概率公式可得
．
故函数在区间上是增函数的概率为．
名校课堂系列答案
【题目】为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．
（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品
（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望EY；
（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望EZ．
【题目】现在颈椎病患者越来越多，甚至大学生也出现了颈椎病，年轻人患颈椎病多与工作、生活方式有关，某调查机构为了了解大学生患有颈椎病是否与长期过度使用电子产品有关，在遂宁市中心医院随机的对入院的50名大学生进行了问卷调查，得到了如下的4×4列联表：
未过度使用 | 过度使用 | 合计 | |
未患颈椎病 | 15 | 5 | 20 |
患颈椎病 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 25 | 25 | 50 |
（1）是否有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关？
（2）已知在患有颈锥病的10名未过度使用电子产品的大学生中，有3名大学生又患有肠胃炎，现在从上述的10名大学生中，抽取3名大学生进行其他方面的排查，记选出患肠胃炎的学生人数为
，求
的分布列及数学期望．
参考数据与公式：
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
