题目内容

【题目】已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧, =2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.
D.

【答案】B
【解析】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1 , y1),B(x2 , y2),
直线AB与x轴的交点为M(m,0),
y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1y2=﹣m,
=2,∴x1x2+y1y2=2,
结合 ,得
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=﹣2,故m=2.
不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又
∴SABO+SAFO= = ×2×(y1﹣y2)+ × y1
=
当且仅当 ,即 时,取“=”号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.

可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及 =2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.

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