题目内容

【题目】已知函数f(x)=lnx+ ,(a>0)
(1)当a=2时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)求函数f(x)在区间[1,2]的最小值.

【答案】
(1)解:a=2时,f(x)=lnx+ ,(x>0),且f(1)=0,

又∵f(x)= ,(x>0),

∴f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=

故切线的斜率为y= (x﹣1),

即x﹣2y﹣1=0


(2)解:由题意,f′(x)= =

∵a为大于零的常数,

若使函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,

则使ax﹣1≥0在区间[1,+∞)上恒成立,

即a﹣1≥0,故a≥1


(3)解:①当a≥1时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,

则fmin(x)=f(1)=0;

②当0<a≤ 时,f′(x)在区间[1,2]恒不大于0,

f(x)在区间[1,2]上单调递减,

则fmin(x)=f(2)=ln2﹣

③当 <a<1时,令f′(x)=0可解得,x= ∈(1,2);

易知f(x)在区间[1, ]单调递减,在[ ,2]上单调递增,

则fmin(x)=f( )=ln +1﹣

综上所述,

①当a≥1时,fmin(x)=0;

②当 <a<1时,fmin(x)=ln +1﹣

③当0<a≤ 时,fmin(x)=ln2﹣


【解析】(1)根据a的值求得函数解析式,再根据f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)进而求得其切线方程;(2)由函数的单调递增区间可知f′(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,解不等式即可得a的取值范围;(3)求函数在一个区间上的最小值,先判断该区间上函数的单调性,不能确定时,需对不确定的量进行分类讨论.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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