题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx+ ,(a>0)
(1)当a=2时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)求函数f(x)在区间[1,2]的最小值.
【答案】
(1)解:a=2时,f(x)=lnx+ ,(x>0),且f(1)=0,
又∵f(x)= ,(x>0),
∴f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)= ,
故切线的斜率为y= (x﹣1),
即x﹣2y﹣1=0
(2)解:由题意,f′(x)= ﹣
=
,
∵a为大于零的常数,
若使函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
则使ax﹣1≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
即a﹣1≥0,故a≥1
(3)解:①当a≥1时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,
则fmin(x)=f(1)=0;
②当0<a≤ 时,f′(x)在区间[1,2]恒不大于0,
f(x)在区间[1,2]上单调递减,
则fmin(x)=f(2)=ln2﹣ ;
③当 <a<1时,令f′(x)=0可解得,x=
∈(1,2);
易知f(x)在区间[1, ]单调递减,在[
,2]上单调递增,
则fmin(x)=f( )=ln
+1﹣
;
综上所述,
①当a≥1时,fmin(x)=0;
②当 <a<1时,fmin(x)=ln
+1﹣
;
③当0<a≤ 时,fmin(x)=ln2﹣
【解析】(1)根据a的值求得函数解析式,再根据f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)进而求得其切线方程;(2)由函数的单调递增区间可知f′(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,解不等式即可得a的取值范围;(3)求函数在一个区间上的最小值,先判断该区间上函数的单调性,不能确定时,需对不确定的量进行分类讨论.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.

【题目】某公司为了研究年宣传费(单位:千元)对销售量
(单位:吨)和年利润
(单位:千元)的影响,搜集了近 8 年的年宣传费
和年销售量
数据:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
38 | 40 | 44 | 46 | 48 | 50 | 52 | 56 | |
45 | 55 | 61 | 63 | 65 | 66 | 67 | 68 |
(Ⅰ)请补齐表格中 8 组数据的散点图,并判断与
中哪一个更适宜作为年销售量
关于年宣传费
的函数表达式?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)若(Ⅰ)中的,且产品的年利润
与
,
的关系为
,为使年利润值最大,投入的年宣传费 x 应为何值?