Question

【题目】椭圆 的两顶点为A，B如图，离心率为 ，过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（Ⅰ）当 时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A，B两点时，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为 ，

由已知得： ，所以 ，椭圆的方程为 ，

当直线l与x轴垂直时与题意不符，

设直线l的方程为y=kx+1，C1（x1，y1），D（x2，y2），

将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，

则 ， ，∴ = ，解得： ，

所以直线l的方程为 ，

（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，

设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P点的坐标为 ，

由（Ⅰ）知 ， ，

且直线AC的方程为 ，且直线BD的方程为 ，

将两直线联立，消去y得 ，

∵﹣1＜x1，x2＜1，∴ 与 异号，

= ， ，

∴ 与y1y2异号， 与 同号，

∴ ，解得，x=﹣k，

故Q点坐标为（﹣k，y0），

，

故 为定值

【解析】（Ⅰ）根据题意由两点间的距离公式可得，要求出C、D的坐标故可设直线方程与椭圆方程联立用韦达定理即可得到C、D橫坐标之间的关系再代入即可求解直线方程。（Ⅱ）先排除特殊情况再用向量法求解，即设出直线l的方程，联立椭圆方程用韦达定理表示出坐标之间的关系，再代入向量数量积公式即可得证。