Question

3．设a＞0，b＞0，则下列不等式中不恒成立的是（　　）

• A． $（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）≥4$
• B． a³+b³≥2ab²
• C． $\sqrt{|a-b|}≥\sqrt{a}-\sqrt{b}$
• D． a²+b²+2≥2a+2b

Answer 1

分析 A．$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$，再利用基本不等式的性质即可得出；
B．作差：a³+b³-2ab²=（a-b）（a²+ab-b²），取a=1.5，b=2时，即可判断出正误；
C．分类讨论：当0≤a≤b时，左边≥0≥右边，此时成立；当0≤b＜a时，平方作差$（\sqrt{|a-b|}）^{2}-（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}$═$2\sqrt{b}（\sqrt{a}-\sqrt{b}）$，即可判断出正误．
D．作差配方可得：a²+b²+2-2a-2b=（a-1）²+（b-1）²≥0，即可判断出正误．

解答 解：对于A，∵a＞0，b＞0，∴$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+$2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，当且仅当a=b时取等号，因此恒成立．
对于B，a³+b³-2ab²=（a-b）（a²+ab-b²），取a=1.5，b=2时，a³+b³-2ab²＜0，因此不恒成立；
对于C，当0≤a≤b时，左边≥0，右边≤0，此时成立；当0≤b＜a时，$（\sqrt{|a-b|}）^{2}-（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}$=$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）$$（\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}）$=$2\sqrt{b}（\sqrt{a}-\sqrt{b}）$≥0，此时成立，
综上可得，不等式恒成立．
对于D，a²+b²+2-2a-2b=（a-1）²+（b-1）²≥0，∴a²+b²+2≥2a+2b，因此恒成立．
故选：B．

点评 本题考查了不等式与基本不等式的性质、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．