题目内容

15.探究函数$f(x)=x+\frac{4}{x},x∈(0,+∞)$的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:
x0.511.51.71.922.12.22.33457
y8.554.174.054.00544.0054.0024.044.354.87.57
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$在区间(0,2)上递减;
函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$在区间[2,+∞)上递增.
当x=2时,y最小=4
(1)用定义法证明:函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$在区间(0,2)递减.
(2)思考:函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x<0)$时,有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)

分析 运用表格可得f(x)在区间[2,+∞)上递增.当x=2时,y最小=4.
(1)运用单调性的定义证明,注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤;
(2)可由f(x)为R上的奇函数,可得x<0时,有最大值,且为-4,此时x=-2.

解答 解:由表格可得函数f(x)=x+$\frac{4}{x}$(x>0)在区间(0,2)上递减;
函数f(x)=x+$\frac{4}{x}$(x>0)在区间[2,+∞)上递增.
当x=2时,y最小=4.
(1)用定义法证明:设0<x1<x2<2,f(x1)-f(x2)=x1+$\frac{4}{{x}_{1}}$-x2-$\frac{4}{{x}_{2}}$
=(x1-x2)(1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$),
由0<x1<x2<2,可得x1-x2<0,0<x1x2<4,1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$<0,
即有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)<f(x2),
则函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 在区间(0,2)递减;
(2)函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x<0)$ 时,有最大值-4;此时x=-2.
故答案为:[2,+∞),2,4.

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用,考查函数的最值的求法,属于基础题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网