题目内容
15.探究函数$f(x)=x+\frac{4}{x},x∈(0,+∞)$的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 4.8 | 7.57 | … |
函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$在区间(0,2)上递减;
函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$在区间[2,+∞)上递增.
当x=2时,y最小=4
(1)用定义法证明:函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$在区间(0,2)递减.
(2)思考:函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x<0)$时,有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)
分析 运用表格可得f(x)在区间[2,+∞)上递增.当x=2时,y最小=4.
(1)运用单调性的定义证明,注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤;
(2)可由f(x)为R上的奇函数,可得x<0时,有最大值,且为-4,此时x=-2.
解答 解:由表格可得函数f(x)=x+$\frac{4}{x}$(x>0)在区间(0,2)上递减;
函数f(x)=x+$\frac{4}{x}$(x>0)在区间[2,+∞)上递增.
当x=2时,y最小=4.
(1)用定义法证明:设0<x1<x2<2,f(x1)-f(x2)=x1+$\frac{4}{{x}_{1}}$-x2-$\frac{4}{{x}_{2}}$
=(x1-x2)(1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$),
由0<x1<x2<2,可得x1-x2<0,0<x1x2<4,1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$<0,
即有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)<f(x2),
则函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 在区间(0,2)递减;
(2)函数$f(x)=x+\frac{4}{x}(x<0)$ 时,有最大值-4;此时x=-2.
故答案为:[2,+∞),2,4.
点评 本题考查函数的单调性的判断和运用,考查函数的最值的求法,属于基础题.
练习册系列答案
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