题目内容
【题目】已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.
(1)求直线l1的方程;
(2)设圆O与x轴相交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2 , 直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′.求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.
【答案】
(1)解:由题意,可设直线l1的方程为y=k(x﹣3),
即kx﹣y﹣3k=0
又点O(0,0)到直线l1的距离为 ,解得
,
所以直线l1的方程为 ,
即 或
(2)解:对于圆O的方程x2+y2=1,令x=±1,即P(﹣1,0),Q(1,0).
又直线l2方程为x=3,设M(s,t),则直线PM方程为 .
解方程组 ,得
,
同理可得: .
所以圆C的圆心C的坐标为 ,半径长为
,
又点M(s,t)在圆上,又s2+t2=1.故圆心C为 ,半径长
.
所以圆C的方程为 ,
即 =0
即 ,
又s2+t2=1
故圆C的方程为 ,
令y=0,则(x﹣3)2=8,
所以圆C经过定点,y=0,则x= ,
所以圆C经过定点且定点坐标为
【解析】(1)由已知中直线l1过点A(3,0),我们可以设出直线的点斜式方程,化为一般式方程后,代入点到直线距离公式,根据直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,可以求出k值,进而得到直线l1的方程;(2)由已知我们易求出P,Q两个点的坐标,设出M点的坐标,我们可以得到点P′与Q′的坐标(含参数),进而得到以P′Q′为直径的圆的方程,根据圆的方程即可判断结论.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目