Question

17．已知函数f（x）=（m-1）•x${\;}^{{m}^{2}-2m-4}$为幂函数．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=$\sqrt{f（x）}$$-\frac{1}{xf（x）}$的定义域，并指明g（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的定义，求出m的值即可得出f（x）的解析式；
（2）由f（x）求出g（x）的解析式，根据解析式求出g（x）的定义域，
根据复合函数的单调性判断出g（x）的单调性．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（m-1）•x${\;}^{{m}^{2}-2m-4}$为幂函数，
∴m-1=1，解得m=2；
∴m²-2m-4═-4，
∴f（x）=x^-4；
（2）∵f（x）=x^-4，
∴g（x）=$\sqrt{f（x）}$$-\frac{1}{xf（x）}$
=$\sqrt{{x}^{-4}}$-$\frac{1}{x{•x}^{-4}}$
=x^-2-x³
=$\frac{1}{{x}^{2}}$-x³，
∴g（x）的定义域是{x|x≠0}；
又y=$\frac{1}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上是减函数，
y=-x³在（0，+∞）上是减函数，
∴g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-x³在（0，+∞）上是单调减函数．

点评 本题考查了幂函数的定义以及复合函数的单调性判断问题，是基础题目．