Question

2．设数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$（n∈N^*），求数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 利用递推关系可得a_n，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$-$[\frac{3}{2}（n-1）^{2}-\frac{n-1}{2}]$=3n-2，
当n=1时也成立，
∴a_n=3n-2．
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{3n-2}+\sqrt{3n+1}}$=$\frac{1}{3}（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）$．
∴数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}[（\sqrt{4}-\sqrt{1}）+（\sqrt{7}-\sqrt{4}）$+…+$（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）]$
=$\frac{1}{3}$$（\sqrt{3n+1}-1）$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．