题目内容

9.已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,f′(x)为函数f(x)的导函数,若f′(x)>1在区间(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围为[15,+∞).

分析 先求导,f′(x)>1在区间(1,2)内恒成立转化为a>2x2+3x+1=2(x+$\frac{3}{4}$)2-$\frac{1}{8}$,在区间(1,2)内恒成立,根据二次函数的性质即可求出答案.

解答 解:∵f(x)=aln(x+1)-x2
∴f′(x)=$\frac{a}{x+1}$-2x,
∵f′(x)>1在区间(1,2)内恒成立,
∴$\frac{a}{x+1}$-2x>1在区间(1,2)内恒成立,
∴a>2x2+3x+1=2(x+$\frac{3}{4}$)2-$\frac{1}{8}$,在区间(1,2)内恒成立,
设g(x)=2x2+3x+1=2(x+$\frac{3}{4}$)2-$\frac{1}{8}$,
∴g(x)在(1,2)上单调递增,
∴g(x)max=g(2)=2×4+3×2+1=15,
∴a≥15,
故a的取值范围为[15,+∞),
故答案为:[15,+∞)

点评 本题重点考查导数的应用,注意分离参数在求解中的灵活运用,属于中档题.

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