Question

【题目】已知函数f（x）＝|x﹣a|+2a，且不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤3}．

（1）求实数a的值．

（2）若存在实数x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝1（2）（﹣∞，]∪[1，+∞）

【解析】

（1）解不等式f（x）≤4，根据其解集，得到的值；（2）将所求不等式转化为5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min，得到f（x）+f（﹣x）的最小值，从而得到关于的不等式，解出的取值范围.

（1）由f（x）＝|x﹣a|+2a≤4，得2a﹣4≤x﹣a≤﹣2a+4，

∴3a﹣4≤x≤﹣a+4，

∵不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤3}，

∴，∴a＝1；

（2）由（1）知f（x）＝|x﹣1|+2，

∵存在实数x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，

∴只需5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min

∵f（x）+f（﹣x）＝|x﹣1|+|x+1|+4≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+4＝6，

当且仅当（x﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤1时取等号，

∴5m2+m≥6，

∴或m≥1，

∴m的取值范围为（﹣∞，]∪[1，+∞）．