Question

【题目】已知的直角顶点在轴上，点为斜边的中点，且平行于轴.

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于即此圆的圆心为,求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）设的中点的坐标为，根据,得即；（2）（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算最小值，进而得到的最大值.

详解：

设点的坐标为（，则的中点的坐标为，点的坐标为，

由,得即，

经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去.

所以，轨迹的方程为.

（Ⅱ）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，点、的坐标分别为（，圆心的坐标为.

由可得

圆的半径

.

过圆心作于点,则.

在中，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，

所以，的最大值为