题目内容
【题目】已知:函数.
(1)当时,求函数
的极值;
(2)若函数,讨论
的单调性;
(3)若函数的图象与
轴交于两点
,且
.设
,其中常数
、
满足条件
,且
.试判断在点
处的切线斜率的正负,并说明理由.
【答案】(1)极小值1,无极大值(2) 当时,
在
上单调减;当
时,
在
和
上单调减,在
上单调增(3)在点
处的切线斜率为正.
【解析】试题分析:(1)求导,利用导函数的符号变化得到函数的单调性,进而得到函数的极值;(2)求导,讨论二次项系数的符号、判别式的符号及两根大小进行求解;(3)先将问题转化为判断的符号,合理构造函数进行证明.
试题解析:(1)当时,
∴
,令
,则
,列表得:
1 | |||
0 | |||
单调减 | 极小值 | 单调增 |
∴有极小值
,无极大值;
(2),
∴
,设
①当时,
恒成立,即
恒成立,∴
在
上单调减;
②当且
,即
时,
恒成立,且不恒为0,则
恒成立,且不恒为0,∴
在
上单调减;
③当且
,即
时,
有两个实数根:
,且
∴ ∴当
或
时,
,
;当
时,
,
;
∴在
和
上单调减,在
上单调增.
∴综上:当时,
在
上单调减;当
时,
在
和
上单调减,在
上单调增.
(3),
,问题即为判断
的符号.
∵函数的图象与
轴交于两点
,且
∴ 两式相减得:
∴
∴
)
∵且
∴
∵
∴
研究: 的符号,即判断
的符号.
令,
,设
∴
方法(一)设,其对称轴为:
∴在
上单调减,则
,即
在
上恒成立 ∴
在
上单调增 ∴
,即
∵ ∴
∴,即
∴在点处的切线斜率为正.
方法(二)
∵,
∴
∴
在
上恒成立
∴在
上单调增 ∴
,即
∵ ∴
∴,即
∴在点处的切线斜率为正.

【题目】2013年1月,北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月.据气象局统计,北京市2013年1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气,《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》如表1:
表1 空气质量指数AQI分组表
AQI指数M | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
级别 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ |
状况 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
表2是某气象观测点记录的连续4天里AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况,表3是某气象观测点记录的北京市2013年1月1日至1月30日的AQI指数频数分布表.
表2 AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况
AQI指数M | 900 | 700 | 300 | 100 |
空气水平可见度y(km) | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
表3 北京市2013年1月1日至1月30日AQI指数频数分布表
AQI指数M | [0,200) | [200,400) | [400,600) | [600,800) | [800,1000] |
频数 | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
(1)设x=,根据表2的数据,求出y关于x的线性回归方程.
(2)小王在北京开了一家洗车店,经小王统计:当AQI指数低于200时,洗车店平均每天亏损约2000元;当AQI指数在200至400时,洗车店平均每天收入约4000元;当AQI指数不低于400时,洗车店平均每天收入约7000元.
①估计小王的洗车店在2013年1月份平均每天的收入;
②从AQI指数在[0,200)和[800,1000]内的这6天中抽取2天,求这2天的收入之和不低于5000元的概率.