题目内容
【题目】已知数列满足
,数列
的前
项和为
.
(1)求的值;
(2)若.
①求证:数列为等差数列;
②求满足的所有数对
.
【答案】(1) ;(2)①见解析;②(10,4).
【解析】
(1)给中的n取值n=1,2,即得
的值.(2) ①根据已知得到a2n=n+
,所以数列{a2n}为等差数列,公差为1.②先求出
,再代入
得到(2m+p+9)(2m﹣p+3)=27,分析得到
,从而得到满足
的所有数对
.
(1)由,可得:
,可得a1+a3=
.
(2)①∵,∴a2n﹣a2n﹣1=
,a2n+1+a2n=
,可得a2n+1+a2n﹣1=
.
∴1==(a1+a3)+(a3+a5)=4a3,解得a3=
,∴a1=
.
∴a2n﹣1﹣=﹣
=……=(﹣1)n﹣1
=0,解得a2n﹣1=
,
可得a2n=n+.
∴数列{a2n}为等差数列,公差为1.
②由①可得:a2n+1=a1,
∴S2n=a1+a2+……+a2n
=(a2+a3)+(a4+a5)+……+(a2n+a2n+1)
=.
由满足,可得:
+3p=4
,
化为:(2m+p+9)(2m﹣p+3)=27,
∵m,p∈N*,可得2m+p+9≥12,且2m+p+9,2m﹣p+3都为正整数,
∴,解得p=10,m=4.
故所求的数对为(10,4).
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