Question

9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，过点M$（2，\sqrt{6}）$
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）对称轴为x轴的标准抛物线w过M点，是否存在斜率为1的直线L与此抛物线W有公共点，且M点到此直线L 的距离为$\sqrt{2}$？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，过点M$（2，\sqrt{6}）$，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求出对称轴为x轴的标准抛物线的方程，设斜率为1的直线L与此抛物线W有公共点，利用M点到此直线L 的距离为$\sqrt{2}$，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，过点M$（2，\sqrt{6}）$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{6}{{b}^{2}}=1$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴双曲线C的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）设抛物线方程为y²=ax，代入M，可得6=2a，
∴a=3，
∴抛物线方程为y²=3x，
设斜率为1的直线L的方程为y=x+m，即x-y+m=0，
∵M点到此直线L的距离为$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|2-\sqrt{6}+m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴m=$\sqrt{6}$或-4+$\sqrt{6}$，
∴直线L的方程为x-y+$\sqrt{6}$=0或x-y-4+$\sqrt{6}$=0．
经检验x-y-4+$\sqrt{6}$=0，符合题意．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．