Question

17．已知M为双曲线$\frac{{x}^{2}}{a}$-y²=1（a＞0）上任意一点，O为原点，过点M做双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点．若平行四边形MAOB的面积为2，则a=16．

Answer 1

分析 求出|OA|，M点到OA的距离，利用平行四边形MAOB的面积为2，求出a．

解答 解：双曲线的渐近线方程是：x±$\sqrt{a}$y=0，设M（m，n）是双曲线上任一点，
过M平行于OB：x+$\sqrt{a}$y=0的方程是：x+$\sqrt{a}$y-m-$\sqrt{a}$n=0，
联立x-$\sqrt{a}$y=0，得两直线交点A（$\frac{m}{2}+\frac{\sqrt{a}n}{2}$，$\frac{m}{2\sqrt{a}}+\frac{n}{2}$），
|OA|=（$\frac{m}{2}+\frac{\sqrt{a}n}{2}$）$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$，
M点到OA的距离是：d=$\frac{|m-\sqrt{a}n|}{\sqrt{1+a}}$，
∵|OA|•d=2，
∴（$\frac{m}{2}+\frac{\sqrt{a}n}{2}$）$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$•$\frac{|m-\sqrt{a}n|}{\sqrt{1+a}}$=2，
∴m²-an²=4$\sqrt{a}$，
∵m²-an²=a，
∴a=16．
故答案为：16．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，是中档题．