Question

4．已知函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）图象上一个最高点为P（2，2），由这个最高点到相邻最低点间的曲线与X轴相交于点Q（6，0）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）写出这个函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用最大值求出A、周期求出T，再求出φ的值即可；
（2）根据正弦函数的单调性，求出该函数的单调递增与单调递减区间即可．

解答 解：（1）根据题意，得；
A=2，$\frac{T}{4}$=6-2，∴T=16，
$\frac{2π}{ω}$=16，
∴ω=$\frac{π}{8}$；
∴sin（$\frac{π}{8}$×6+φ）=0，
又-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$；
∴函数y=2sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），x∈R；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤$\frac{π}{8}$x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z；
∴-6+16k≤x≤2+16k，k∈Z；
∴该函数的单调递增区间是：[16k-6，16k+2]，k∈Z；
同理，它的单调递减区间是：[16k+2，16k+10]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是基础题目．