题目内容

(本小题共14分)函数.
(1)①试用含有的式子表示;②求的单调区间;
(2)对于函数图像上的不同两点,如果在函数图像上存在点(其中之间),使得点处的切线,则称存在“伴随切线”,当时,又称存在“中值伴随切线”。试问:在函数的图像上是否存在两点,使得存在“中值伴随切线”?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由。

(1)增区间为,减区间为
(2)不存在
解:(1)① ∵ ∴ . (2分)
 ∵ ∴当
时, 
增区间为,减区间为  
(2)不存在  (7分) (反证法)
若存在两点,不妨设,则
曲线的切线斜率

∴由    ① 
法一:令 

上为增函数   
 ∴与①矛盾
∴不存在           (16分)
法二:令,则①化为   ②
     ∵
为增函数  
此与②矛盾,∴不存在
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