Question

【题目】已知圆，直线过定点.

（1）点在圆上运动，求的最小值，并求出此时点的坐标.

（2）若与圆C相交于两点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）是定值，定值为6

【解析】

（1）根据可得的最小值，利用直线的方程与圆的方程联立可得的坐标；

（2）设直线的方程为，联立直线与解得的坐标，联立直线CM与得的坐标，再根据两点间的距离公式得，化简可得结果.

（1）因为，所以，

当且仅当为线段与圆的交点时，取得等号，

因为直线的方程为：，

联立，消去整理得，

解得或（舍），

所以，所以.

所以的最小值为，出此时点的坐标为.

（2）因为直线与圆相交，斜率必定存在且不为0,

可设直线的方程为，

由，得，所以.

又直线CM与垂直，所以直线的方程为，

由，得，所以.

所以

为定值.

故是定值，且为6.