Question

在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x²＋y²＝r²(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l₁：mx＋ny＝1和l₂：mx＋ny＝4的位置关系．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）直线l₁与圆O相交，直线l₂与圆O相离．

(1)由(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0整理
得(x＋y－3)k＋(x－y－)＝0，
解方程组得F(，0)．
设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则由题设知于是a＝2，b＝1. 所以椭圆C的方程为＋y²＝1.
(2)因为圆O：x²＋y²＝r²(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，所以b＜r＜a，即1＜r＜2.
因为点(m，n)是椭圆＋y²＝1上的点，所以＋n²＝1，
且－2≤m≤2.所以∈[1,2]．
于是圆心O到直线l₁的距离d₁＝≤1＜r，
圆心O到直线l₂的距离d₂＝≥2＞r.
故直线l₁与圆O相交，直线l₂与圆O相离