题目内容
已知椭圆C：
＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2
，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－
.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若
＝
(O为坐标原点)，求|y1－y2|的值；
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)若
＝ (O为坐标原点)，求|y1－y2|的值；(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
（1）4（2）存在Q(3,0)
(1)由椭圆的定义知a＝，设P(x，y)，
则有
，则
＝－，
又点P在椭圆上，则
＝－，
∴b2＝2，
∴椭圆C的方程是
＝1.(3分)
∵＝，
∴
|cos∠AOB＝，
∴|sin∠AOB＝4，
∴S△AOB＝
|sin∠AOB＝2，
又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分)
(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l斜率存在且不为零，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
由
消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，(9分)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝
，x1·x2＝
.
∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，
∴kQA＋kQB＝0，即
＝0，(13分)
又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，
∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．(16分)
，设P(x，y)，则有
，则＝－，又点P在椭圆上，则
＝－，∴b2＝2，
∴椭圆C的方程是
＝1.(3分)∵
＝，∴
|cos∠AOB＝，∴
|sin∠AOB＝4，∴S△AOB＝
|sin∠AOB＝2，又S△AOB＝
|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分)(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l斜率存在且不为零，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
由
消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，(9分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝
，x1·x2＝.∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，
∴kQA＋kQB＝0，即
＝0，(13分)又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，
∴2×
＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．(16分)
练习册系列答案
相关题目
,
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过
的直线交椭圆
,
两点, 
的距离为
,连结椭圆
.
作直线
交椭圆
, 若点
是线段
垂直平分线上的一点,且满足
,求实数
的值．
的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，直线
与以原点为圆心，以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
，右焦点为
，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直
，线段
垂直平分线交
，求点
的方程；
轴交于点
，不同的两点
在
,求
的取值范围.
＝1和椭圆
＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是( )
的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为________
＋
＝1
＋
＝1
＝1
＝1
k＋1)x＋(k－
是椭圆
上一动点，
是椭圆的两个焦点，则
的最大值为 .
，
是椭圆
的左、右焦点，过
，
两点，若
的周长为
，则
的值为 .