Question

(13分)已知圆O：x²＋y²＝3的半径等于椭圆E：＝1(a>b>0)的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆O内，且到直线l：y＝x－的距离为－，点M是直线l与圆O的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)求椭圆E的方程；
(2)求证：|AF|－|BF|＝|BM|－|AM|.

Answer 1

（1）＝1（2）见解析

(1)设点F(c，0)(c>0)，则F到直线l的距离为＝，即|c－|＝－1，
因为F在圆O内，所以c<，故c＝1.
又因为圆O的半径等于椭圆E的短半轴长，所以b²＝3，
所以所求椭圆方程为＝1.
(2)证明：因为圆心O到直线l的距离为＝，所以直线l与圆O相切，M是切点，故△AOM为直角三角形，所以|AM|＝，又＝1，可得|AM|＝x₁，
|AF|＝，又＝1，可得|AF|＝2－x₁，
所以|AF|＋|AM|＝2，同理可得|BF|＋|BM|＝2，
所以|AF|＋|AM|＝|BF|＋|BM|，即|AF|－|BF|＝|BM|－|AM|.