Question

18．已知函数f（x）=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$是定义在（-1，l）上的奇函数，且f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$．
（I）确定函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈（-l，1）时，判断函数f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （I）利用f（0）=0，求出n，利用f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$，求出m，即可确定函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用导数判断函数f（x）的单调性．

解答 解：（I）∵函数f（x）=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$是定义在（-1，l）上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴n=0，
∴f（x）=$\frac{mx}{{x}^{2}+1}$，
∵f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$，
∴m=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$；
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x•2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{-（x+1）（x-1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∵x∈（-l，1），
∴f′（x）＞0，
∴当x∈（-l，1）时，函数f（x）单调递增．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．