题目内容
【题目】已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的
倍．
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；
(Ⅱ)设P(2，0)，过椭圆E左焦点F的直线l交E于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式
≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．
【答案】(Ⅰ) 
＋y2＝1(Ⅱ) 
【解析】试题分析：（1）设椭圆方程，由a=
b，a2=b2+1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程的标准方程；
（2）由向量数量积的坐标运算求得
，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，及函数的最值即可求得
的最小值，即可求得λ的最小值．
试题解析：
(Ⅰ)依题意，a＝
b，c＝1，
解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的标准方程为
＋y2＝1.
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
·
＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2，
当直线l垂直于x轴时，x1＝x2＝－1，y1＝－y2且y＝
，
此时＝(－3，y1)，＝(－3，y2)＝(－3，－y1)，
所以·＝(－3)2－y＝
；
当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y＝k(x＋1)，
由
整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－
，x1x2＝
，
所以·＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2＝(1＋k2)·－(k2－2)·＋4＋k2
＝
＝－
<.
要使不等式·≤λ(λ∈R)恒成立，只需λ≥(·)max＝，即λ的最小值为.
练习册系列答案
相关题目
