题目内容
【题目】设椭圆方程为,过点
的直线l交椭圆于点A,B,O是坐标原点,点P满足
,点N的坐标为
,当l绕点M旋转时,求:
(1)动点P的轨迹方程;
(2)的最小值与最大值.
【答案】(1);(2)当
时,最小值为
;当
时,最大值为
.
【解析】
(1)设出直线的方程
和点A、B的坐标,联立直线与椭圆的方程,即可求出
,然后根据
求出点P的坐标,消去参数,即可得到动点P的轨迹方程,再检验当k不存在时,是否也满足方程即可;
(2)根据点P的轨迹方程求得的取值范围,再根据两点间的距离公式求出
,消元,由二次函数的性质即可求出
的最小值与最大值.
(1)直线l过点,设其斜率为k,则l的方程为
.
设,
,由题设可得点A、B的坐标是方程组
的解.
将①代入②并化简得,所以
于是,,
设点P的坐标为,
则消去参数k得
,③
当k不存在时,A、B中点为坐标原点,也满足方程③,
所以点P的轨迹方程为.
(2)点P的轨迹方变形为,
知,即
.
所以
,
故当时,
取得最小值,最小值为
.
当时,
取得最大值,最大值为
.
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