题目内容
【题目】已知点A是椭圆的上顶点,斜率为
的直线交椭圆E于A、M两点,点N在椭圆E上,且
;
(1)当时,求
的面积;
(2)当时,求证:
.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)由椭圆对称性确定直线斜率为1,
斜率为-1,求出
点坐标后可得三角形面积;
(2)由直线方程为
求得
点坐标(横坐标即可),得
,同理得
(直线
斜率为
),利用
得
的方程,利用函数的知识(导数)证明此方程的解在区间
上.
(1)由椭圆对称性知点M、N的纵坐标相等,横坐标互为相反数,且,
由题意,
,
方程为
,于是可以设点
其中
,于是
,解得
,
所以.
(2)据题意,直线,联立椭圆E,得:
,
即:,则
,那么
,
同理,知:,
由,得:
,即:
.
令,则
,
所以单调增,又
,
,
故存在唯一零点
,即
.
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