题目内容
【题目】已知点
在椭圆
上，
为坐标原点，直线
的斜率与直线
的斜率乘积为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）不经过点
的直线
（
且
）与椭圆交于
，
两点，关于原点的对称点为
（与点不重合），直线
，
与
轴分别交于两点
，
，求证：
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到
，得到
，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得
，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线
，
的斜率互为相反数，列式，可证.
（Ⅰ）由题意，
，
即① 又
②
联立①①解得
所以，椭圆
的方程为：.
（Ⅱ）设
，
，
，由
，
得
，
所以
，即
，
又因为
，所以，
，
，
，
解法一：要证明
，可转化为证明直线，
的斜率互为相反数，只需证明
，即证明
.
∴
∴，∴.
解法二：要证明，可转化为证明直线，与
轴交点
、
连线中点
的纵坐标为
，即
垂直平分
即可.
直线与的方程分别为：
，
，
分别令
，得
，
而
，同解法一，可得
，即垂直平分.
所以，.
练习册系列答案
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【题目】据统计,某5家鲜花店今年4月的销售额和利润额资料如下表：
鲜花店名称 | A | B | C | D | E |
销售额x（千元） | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利润额y（千元） | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
（1）用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程
=
x+
；
（2）如果某家鲜花店的销售额为8千元时,利用(1)的结论估计这家鲜花店的利润额是多少.
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计值公式分别为
