题目内容
【题目】对于定义在上的函数
,若存在正常数
、
,使得
对一切
均成立,则称
是“控制增长函数”.在以下四个函数中:①
;②
;③
;④
.是“控制增长函数”的有( )个
A.B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
假设各函数均为“控制增长函数”,根据定义推导恒成立的条件,判断出
、
的存在性即可得出答案.
对于①,可化为
,
即,即
对一切
恒成立,
由函数的定义域为
可知,不存在满足条件的正常数
、
,
所以,函数不是“控制增长函数”;
对于②,若函数为“控制增长函数”,
则可化为
,
对一切
恒成立,
又,若
成立,则
,显然,当
时,不等式恒成立,所以,函数
为“控制增长函数”;
对于③,,
,
当且
为任意正实数时,
恒成立,
所以,函数是“控制增长函数”;
对于④,若函数是“控制增长函数”,则
恒成立,
,若
,即
,
所以,函数是“控制增长函数”.
因此,是“控制增长函数”的序号是②③④.
故选C.
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