题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求证:
在区间
是增函数;
(2)设,若对任意的
,恒有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)当时,
,求函数的导数并判断单调性,说明
在区间
是增函数;
(2)首先判断函数的单调性,并且判断函数
只有最小值,无最大值,若满足条件,即
,转化为求
的最小值,并且用
表示.
(1)当,
.则
.
当,由函数单调性的性质可知,
为
上的增函数.
所以,当时,
.
所以在区间
是增函数.
(2)由题,则
令,则
为
上的增函数.
当;当
;
所以必然存在,使得
,即
.
当,
,即
,所以
为减函数.
当,
,即
,所以
为增函数.
所以,
无最大值.
此外,因为,所以
.
令,则就有
.
又,当
,
,所以
为
上的增函数.
因为,且
,
.所以必然有
.
此时,.
又任意的,恒有
,
所以,即
.
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