题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，点
在线段
上，
，
是线段
的中点，且三棱锥
的体积是四棱锥体积的
.
（1）若
是
的中点，证明：平面
平面
；
（2）若
平面，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接
交
于点
，连接
，根据面面平行的判定定理，即可得出结果；
（2）建立以为坐标原点，
，
，
的方向为
，
，
轴正方向的空间直角坐标系，分别求出平面
与平面
的一个法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.
（1）连接交于点，连接，
由题可知：由
可知：
，则
，
所以
，且
，且
，
所以平面
平面；
（2）建立以为坐标原点，，，的方向为，，轴正方向的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面的一个法向量为
，则有
，
即
，令
，则
同理：平面的一个法向量
所以
，
所以二面角
的正弦值为.
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