题目内容
【题目】已知二次函数的定义域
恰是不等式
的解集,其值域为
,函数
的定义域为
,值域为
.
(1)求定义域
和值域
;
(2)试用单调性的定义法解决问题:若存在实数,使得函数
在
上单调递减,
上单调递增,求实数
的取值范围并用
表示
;
(3)是否存在实数,使
成立?若存在,求实数
的取值范围,若不存在,说明理由.
【答案】(1),
;(2)
,
;(3)存在,
.
【解析】
(1)解不等式得定义域
,由二次函数的性质可得值域
;
(2)假设存在,满足题意,设
且
,作差
,按单调性定义分析可得;
(3)求导函数,分类讨论
,得出
的单调性,从而求得值域
,再由
,列出不等式组,可得
的取值范围。
(1),解得
,∴
,即
。
,又
,∴
,∴
。
(2)假设存在,满足题意,
设且
,
,
显然,因此当
,
,当
,
,
当,
,因此
,
,
,
,因此
,
,
综上。
,∴
。
∴,
。
(3),
若,则
,
是
上的增函数,
时,
,
,即
,
当时,
,∴
,
若,则当
时,
,
单调递减,
时,
,
单调递增,
若,则
,
,即
,不满足
,
若,则当
时,
递减,∴
∴,解得
,
综上的取值范围是
。
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