题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,椭圆
:
经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点是椭圆
上的任意一点,射线
与椭圆
交于点
,过点
的直线
与椭圆
有且只有一个公共点,直线
与椭圆
交于
,
两个相异点,证明:
面积为定值.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程,根据得到的式子求出.
(2)当直线斜率不存在时,易得
的面积,当直线
斜率存在时,设为
,与椭圆
相切,得到
和
的关系,再由直线
和椭圆联立方程组,得到
、
,
利用弦长公式表示出,再得到
和
的关系,由
到
的距离,得到
到
的距离,从而计算出
的面积.得到结论为定值.
(1)解:因为的离心率为
,
所以,
解得.①
将点代入
,整理得
.②
联立①②,得,
,
故椭圆的标准方程为
.
(2)证明:①当直线的斜率不存在时,
点为
或
,由对称性不妨取
,
由(1)知椭圆的方程为
,所以有
.
将代入椭圆
的方程得
,
所以
.
②当直线的斜率存在时,设其方程为
,
将代入椭圆
的方程
得,
由题意得,
整理得.
将代入椭圆
的方程,
得.
设,
,
则,
,
所以
.
设,
,
,则可得
,
.
因为,所以
,
解得(
舍去),
所以,从而
.
又因为点到直线
的距离为
,
所以点到直线
的距离为
,
所以
,
综上,的面积为定值
.
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练习册系列答案
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组号 | 分组 | 频率 |
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第2组 | ||
第3组 | ||
第4组 | ||
第5组 |
求出频率分布表中
处应填写的数据,并完成如图所示的频率分布直方图;
根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数
结果都保留两位小数
.