Question

11．对任意实数a，b（a＜b），函数f_（a，b）（x）=（$\frac{x}{a}$-1）²+（$\frac{b}{x}$-1）²（x∈[a，b]）．
（1）求函数f_（a，b）（x）的最小值；
（2）已知1＜t＜4，且对任意x₁∈[1，t]，总存在x₂∈[t，4]，使f_（1，4）（x₁）≤f_（1，4）（x₂）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由两点的距离可得函数表示两点A（1，1）与B（$\frac{x}{a}$，$\frac{b}{x}$）的距离的平方，B在曲线xy=$\frac{b}{a}$上，曲线关于直线y=x对称，求得交点，由两点的距离公式即可得到最小值；
（2）求得f_（1，4）（x）=（x-1）²+（$\frac{4}{x}$-1）²=（x+$\frac{4}{x}$-1）²-7，再由x的范围，可得f_（1，4）（x₁），f_（1，4）（x₂）的最大值，由恒成立和存在性思想，即可得到t的范围．

解答 解：（1）函数f_（a，b）（x）=（$\frac{x}{a}$-1）²+（$\frac{b}{x}$-1）²（x∈[a，b]）的几何意义是
两点A（1，1）与B（$\frac{x}{a}$，$\frac{b}{x}$）的距离的平方，
B在曲线xy=$\frac{b}{a}$上，曲线关于直线y=x对称，
且（1，1）在直线y=x上，
由y=x和曲线xy=$\frac{b}{a}$可得x=±$\sqrt{\frac{b}{a}}$，
即有A与B（$\sqrt{\frac{b}{a}}$，$\sqrt{\frac{b}{a}}$）的距离最小，
则函数f_（a，b）（x）的最小值为2（1-$\sqrt{\frac{b}{a}}$）²；
（2）f_（1，4）（x）=（x-1）²+（$\frac{4}{x}$-1）²
=（x+$\frac{4}{x}$-1）²-7，
由x₁∈[1，t]，可得f_（1，4）（x₁）的最大值为（1+4-1）²-7=9，
由x₂∈[t，4]，可得f_（1，4）（x₂）的最大值为（4+1-1）²-7=9，
即有f_（1，4）（x₁）≤f_（1，4）（x₂）成立，
则t的范围是（1，4）．

点评 本题考查函数的最值的求法，以及不等式恒成立和存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．