Question

3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b-c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由角B，A，C成等差数列以及三角形的内角和公式知A=60°，再由余弦定理和已知的条件可得cosA=$\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$，解得 m的值．
（2）由（1）知A=60°，又已知a=$\sqrt{3}$，故由余弦定理得b2+c2-2bc•$\frac{1}{2}$=3，结合条件求得bc=6，由此求得△ABC的面积．

解答 解：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形的内角和公式知A=60°，
又由a²-c²=b²-mbc可以变形得 $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{bc}$=$\frac{m}{2}$．
再由余弦定理可得cosA=$\frac{m}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得 m=1． …（4分）
（2）由（1）知A=60°，又已知a=$\sqrt{3}$，
故由余弦定理得b²+c²-2bc•$\frac{1}{2}$=3，
∴（b-c）²-bc=3．
∵已知b-c=3，
∴9-bc=3，
∴bc=6．
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•6•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．    …（8分）

点评 本题主要考查等差数列的定义和性质，三角形中的几何运算以及正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．