题目内容
【题目】如图,四边形是边长为2的菱形,且
,
平面
,
,
,点
是线段
上任意一点.
(1)证明:平面平面
;
(2)若的最大值是
,求三棱锥
的体积.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)推导出AC⊥BM,AC⊥BD,得AC⊥平面BMND,从而可得到证明;(2)由AE=CE和余弦定理可知,当AE最短即AE⊥MN,CE⊥MN时∠AEC最大,取MN中点H,连接H与AC、BD的交点O,知OH⊥平面ABCD,分别以直线,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,设
,利用二面角
的平面角为
,可求出a,然后利用VM﹣NAC=VM﹣EAC+VN﹣EAC可得结果.
(1)因为平面
,则
.
又四边形是菱形,则
,又
,
所以平面
,因为AC在平面
内,
所以平面平面
.
(2)设与
的交点为
,连结
. 因为
平面
,则
,又
为
的中点,则
,由余弦定理得
,
.当AE最短时∠AEC最大,此时
,
,
,因为AC=2,
,OE=
. 取MN的中点H,分别以直线
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,
设,则点
,
,
,
.设平面
的法向量
,
则,即
,取
,则
,
同理求得平面的法向量
.
因为是二面角
的平面角,则
,解得
或
.
由图可知a<OE=,故
(舍去),
,
因为,
,
,
则.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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