题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
为参数),以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,点
是曲线
上的动点,点
在
的延长线上,且
,点
的轨迹为
.
(1)求直线及曲线
的极坐标方程;
(2)若射线与直线
交于点
,与曲线
交于点
(与原点不重合),求
的最大值.
【答案】(1)直线l的极坐标方程为.
的极坐标方程为
(2)
【解析】
(1)消参可得直线的普通方程,再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化,从而得到直线的极坐标方程;利用相关点法求得曲线的极坐标方程;
(2)利用极坐标中极径的意义求得长度,再把所求变形成正弦型函数,进一步求出结果.
(1)消去直线l参数方程中的t,得,
由,得直线l的极坐标方程为
,
故.
由点Q在OP的延长线上,且,得
,
设,则
,
由点P是曲线上的动点,可得
,即
,
所以的极坐标方程为
.
(2)因为直线l及曲线的极坐标方程分别为
,
,
所以,
,
所以,
所以当时,
取得最大值,为
.
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