题目内容

【题目】如图,已知在棱柱的面底是菱形,且面ABCD,

为棱的中点,M为线段的中点.

(1)求证:平面平面

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析:(1)因为底面是菱形,所以AC⊥面BDD1B,又MFAC,所以MF⊥面BDD1B,即平面平面;(2)过点B作BHAD于H,可证出BH平面ADD1A1,从而BH是三棱锥B﹣DD1F的高,求出DD1F的面积,计算出三棱锥D1﹣BDF的体积.

试题解析:

(1)证明:∵底面是菱形,

∴AC⊥BD;

又∵B1B⊥面ABCD,ACABCD

∴AC⊥B1B,BD∩B1B=B,

∴AC⊥面BDD1B1

又∵MF∥AC,

∴MF⊥面BDD1B1

又∵MF平面D1FB,

∴平面D1FB⊥平面BDD1B1

(2)如图,过点BBH⊥AD,垂足为H,

∵AA1⊥平面ABCD,BH平面ABCD,

∴BH⊥AA1

∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线,

∴BH⊥平面ADD1A1

Rt△ABH中,∠DAB=60°,AB=AD=1,

∴BH=ABsin60°=

∴三棱锥D1﹣BDF的体积为

V==×S△DD1FBH=××1×1×=

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