题目内容
【题目】已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题
①f(2014)＋f(－2015)＝0；
②函数f(x)在定义域上是周期为2的函数；
③直线y＝x与函数f(x)的图象有2个交点；
④函数f(x)的值域为(－1,1)．
其中正确的是( )
A. ①② B. ②③
C. ①④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】由于当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
从而当x∈[1,2)时，x－1∈[0,1)，有f(x－1)＝log2x，
又f((x－1)＋1)＝－f(x－1)f(x－1)＝－f(x)＝log2xf(x)＝－log2x
即f(x)＝
；
再注意f(x)为定义在R上的偶函数，所以可作出函数f(x)的图象如下：
对于①f(2014)＋f(－2015)＝f(2×1007＋0)＋f(2015)
＝f(0)＋f(2×1007＋1)＝0＋f(1)＝－log21＝0，故①正确；排除B；
对于②由图象可知函数不是周期函数，故②是错误的；排除A、D；
对于③由图象可知直线y＝x与函数f(x)的图象只有1个交点，故③错误；
对于④由图象可知函数的值域为(－1,1)，故④正确．
故选C.
点睛: 函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
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